Question

关于数学分析的一道题目

设{Xn}为不减数列，yn=n/(X1+X2+…Xn),且limyn=A,证明：limXn=A.
那位数学高手帮帮忙啊？谢谢！

Answer 1

取xn=B，则limyn=1/B=A,所以limxn=B=1/A, 所以题目错了，应改为
设设{Xn}为不减数列，yn=(X1+X2+…Xn)/n,且limyn=A,证明：limXn=A
证明：因为{Xn}为不减数列，所以limXn存在，
∴x1/n+(1-1/n)*xn=[ n*x1+(n^2-n)*xn ]/n^2
≤y(n^2)=[ (x1+x2+……+xn)+(x(n+1)+x(n+2)+……+x(n^2) ) ]/n^2≤x(n^2)/n^2
∴0+limxn≤limyn≤limxn (∵limy(n^2)=limyn, limx(n^2)=limxn ) ∴limxn=limyn=A.

Answer 2

先假设Xn不收敛，那么易证Yn不收敛，矛盾
设Xn收敛于B，存在N,i>N时，Xi-B<ε
X1到XN项为有限项，其和为有限值，Lim n/（X1+...+XN）=0
i>N时，易证Lim n/(XN+1 +...+Xn)=n/(n-N)B=B
即有A=B，得证