Question

一道函数方程题。

f(x)=Inx +x,若2mf(x)=x^2(m>0)有唯一解,求m的值.

Answer 1

原式可化为
1/2m=f(x)/x^2=lnx/x^2+1/x
设g(x)=lnx/x^2+1/x
则g‘(x)=[(1/x)*x^2-2x*lnx]/x^4-1/x^2=（1-2lnx-x）/x^3
因为定义域x>0,下面讨论1-2lnx-x的符号。
令p（x）=1-2lnx-x，p的定义域也为x>0.
对p求导p'=-2/x-1<0恒成立。
所以p递减。
而p(1)=0.
所以g’（x）在（0,1）上为正，在（1，正无穷）上为负。
g(x)在(0,1)上递增，在(1,＋∞)上递减，在x=1处取得最大值1.
当x→0时，g（x）→-∞；当x→＋∞时，g（x）→0.
因此g(x)的值唯一时，g（x）<=0或者g（x）=1.
而m>0,所以满足条件的只能是1/(2m)=1即m=1/2

Answer 2

2mf(x)=x^2
f(x)=x^2/(2m)
lnx=-x+x^2/(2m) ----------------(1)
如2mf(x)=x^2(m>0)有唯一解,则：曲线 lnx 和 -x+x^2/(2m) 在交点处的斜率相等
所以：(lnx)'=[-x+x^2/(2m)]'
x^2=mx+m
代入(1)得：
lnx=-x+(mx+m)/(2m)
即：lnx=(1-x)/2
此方程的解为x=1, 这也就是方程2mf(x)=x^2(m>0)有唯一解时的那个解
将x=1代入2mf(x)=x^2
得：2mf(1)=1
2m=1
m=0.5

Answer 3

有唯一解，根据左右两边函数的图像看出两切线在相切时才有唯一点。
求左右两边的切点，并使其相等。

Answer 4

解 ：因为f(1)=1
所以2mf(1)=1 所以m=0.5

Answer 5

m=1/2

交点（1,1）