Question

已知函数f(x)=1/3x^3+1/2ax^2+2bx+c(a,b,c∈R),且函数f(x)在区间(0,1)内取得极大值，在区间(1,2)内取得极

小值，则z=(a+3)^2+b^2的取值范围是多少？要求有详细的过程，谢谢！

Answer 1

如图

Answer 2

f'(x)=x²+ax+2b

由题意得f'(x)的两个零点分别在区间(0，1)和(1，2)上

根据f'(x)图像得

f(0)=2b＞0，b＞0                                ①

f(1)=1+a+2b＜0，a+2b＜-1                  ②

f(2)=4+2a+2b＞0，a+b＞-2                 ③ 

△=a²-8b＞0，b＜a²/8                          ④

把上面的四个式子线性规划

如图：

阴影部分为满足上面四式的部分

而阴影部分满足圆(a+3)²+b²=r²，

半径最小值为r=|BD|=√2，此时z=r²=2

半径最大值为R=|BC|=2，此时z=R²=4

∴2＜z＜4