Question

证明一个有限集合与可数集合的并仍然是可数集合

Answer 1

假定你的孤立点集S是R^n的子集，那么对S中的每个点x，存在唯一的最大开球B(x)，使得这个开球不包含S中的其它点。

做映射x->R(x)，R(x)是B(x)中所有有理点的全体，那么显然有S的势不超过所有有理点的势，至多可数。
注：上述构造是确定存在的，不依赖于选择公理。

做映射x->R(x)，R(x)是B(x)中所有有理点的全体，那么显然有S的势不超过所有有理点的势，至多可数。

注：上述构造是确定存在的，不依赖于选择公理。

可数集具有以下性质：

1、可数集的子集是至多可数的；

2、有限多个可数集的并集是可数的；

3、在承认可数选择公理的前提下，可数多个可数集的并集是可数的；

4、有限多个可数集的笛卡尔积是可数的；

5、对集合S，下面3种说法等价：

（1）S至多可数，即存在S到自然数集的单射；

（2）S为空集，或存在自然数集到S的满射；

（3）S为有限集或存在自然数集与S间的双射。

6、值域为可数集的单射，其定义域至多可数；

7、定义域为可数集的满射，其值域至多可数。

以上内容参考：百度百科-可数集 

Answer 2

证明：假设A={a1,a2,...,aN}是有限集，B={b1,b2,b3,...}是可数集，不仿设A交B是空集（如果不然，将A中含有B的元素去除），做映射：
当n<=N时，f(n)=an；当n>N时，f(n)=b(n-N)；
这样构造的映射是自然数集到A并B的一一映射，因此A并B是可数集。