Question

已知a，b为正数，且直线2x－（b－3）y＋6＝0与直线bx＋ay－5＝0互相垂直，则2a＋3b的最小值为

注意是2a＋3b的最小值为什么？

Answer 1

2x－（b－3）y＋6＝0 y=2x/(b-3)+6/(b-3)
bx＋ay－5＝0 y=-bx/a+5/a
[2/(b-3)]*[-b/a]=-1
2b=a(b-3)
a=2b/(b-3)=2+6/(b-3)
2a+3b=13+[12/(b-3)]+3(b-3)]≥13+2*√(12*3)=25
2a＋3b的最小值为25

Answer 2

2/(b-3)*(-b/a)=-1
2b=a(b-3)
2b+3a=ab
ab=2b+3a≥2√(6ab)
√(ab)[√(ab)-2√6]≥0
√(ab)>0
所以√(ab)≥2√6
ab≥24
即2b+3a≥24
所以2b+3a最小值=24

Answer 3

因两直线垂直，所以
2*b+(3-b)*a=0
因此b=3a/(a-2)
因为 a,b为正数，因此 b=3a/(a-2)>0
所以 a>2
因此： 2a+3b=(13a-2a*a)/(a-2)=(2(a-2)*(a-2)+13(a-2)+18)/(a-2)
= 2(a-2) + 18/(a-2) +13
>=25