Question

定积分换元后的处理问题

刚学到定积分的换元问题,书上一个例题没有看明白.提问都写在图片上了,请依次回答.共5问,每个给10分.

Answer 1

要知道定积分的上下限，是被积函数自变量的变化范围。
原来的定积分的上下限，是原来定积分被积函数自变量的变化范围。
换元后新的定积分上下限，当然就是新的定积分被积函数自变量的变化范围。
即换元后，新的变量的变化范围。
那么这个新的范围怎么确定呢？
通过原来自变量的上下限去计算。
根据换元的公式，原来的上限算出来的新变量的值就是新的上限，原来下限算出来的新变量的值就是新的下限。
例如原来的定积分是上限为5，下限为0，原来的自变量是x
换元是t=5-x，那么新的上限就是根据t上限=5-x上限=5-5=0
新的下限就是t下限=5-x下限=5-0=5
所以新的上限是0，下限是5
就是这样转换过来的。

Answer 2

∫f(x)dx区间-a~0 令x=-t
-∫f(-t)dt区间a~0然后积分上下换限提符号 有得分∫f(-t)dt区间0~a 于是有∫f(-x)dx区间0~a
积分换上下限要提符号得出蓝色那一步

重点是f(-x)dx=f(-t)dt 如果是f(-x)dx和f(-t)dx就不等了（注意，我说的是值相等）
注意积分上下线的值是指积分变量的值 就是d后面的函数
也就是说∫f(-t)dt区间0~a 中t取值区间0~a 同样∫f(-x)dx区间0~a中x取值区间0~a
积分变量取值相同 被积函数相同 那么定积分怎么可能不相同呢？

“原题是设x=-t
若依你举的例题,y=f(x)=x+1,则有
y=f(x) = x+1 = -t+1
与Y=f(t)=t+1是一样的吗?”

作函数看的话不相等 因为函数的三要素都不同
是说函数值的话 如果定义域相同这两个函数值就不等 但是在定义域相反的情况下y=Y
y= -t+1 与Y=x+1你可以看作y=α+1与y=β+1
积分为∫α+1dα ∫β+1dβ
在积分中只要α和β的取值范围相同 这两个积分的值就是一样的

Answer 3

只要解决第一问就行了吧，后面很好推，其实这两个一样的，就像F(X)=X+1和F(T)=T+1，这两个函数是一样的，只是换了个变量。

追问

原题是设x=-t
若依你举的例题,y=f(x)=x+1,则有
y=f(x) = x+1 = -t+1
与Y=f(t)=t+1是一样的吗?

追答

你代入有问题，是f（-t）=-t+1，我也不知道改怎么说，你应该做过这样的题，f（ln x）=x，求f（x）。可以令u=ln x，则x=e^u，代入，得f（u）=e^u，所以解出f（x）=e^x