Question

已知函数f(x)=e^x-ln(x+1).

(1)求函数f(x)的最小值;(2)已知0<=x1<x2,求证e^(x2-x1)>1+ln(x2+1)/(x1+1)

Answer 1

（1）f‘（x）=e^x-1/(x+1)=0，x=0，即f（x）在（-1,0）递减，在[0.∞）递增，∴当x=0时取最小值f（0）=1
（2）设g（x）=e^x-1-ln(1+x),则由（1）知g（x）在[0,∞)递增，当0≤x1＜x2时，g（x2）-g（x1）＞0，得证

Answer 2

1.f'(x)=e^x-1/(x+1), f'(0)=0, f''(x)=e^x+1/(x+1)^2>0 , f'(x)为（-1，+∞）上的增函数，
所以x>0时， f'(x)>f'(0)=0,f(x)在（0，+∞）上是增函数，
-1<x<0时，f‘(x）<f'(0）=0，f(x)在(-1,0)上是减函数；

Answer 3

1.f'(x)=e^x-1/(x+1),
f'(0)=0,
f''(x)=e^x+1/(x+1)^2>0
,
f'(x)为（-1，+∞）上的增函数，
所以x>0时，
f'(x)>f'(0)=0,f(x)在（0，+∞）上是增函数，
-1<x<0时，f‘(x）<f'(0）=0，f(x)在(-1,0)上是减函数；