Question

高中数学题，如下，请各位老师或高手帮忙，谢谢，好的话会再加分哈~

知函数既是奇函数，又在区间[-1，1]上单调减
A，f（x）=ln（2-x/2+x） B，f（x）=1/2（2^x+2^-x）

最后选A，请详细分析

Answer 1

A 定义域 -2<x<2 关于原点对称

f(0)=0

f(-x)=ln(2+x/2-x)=ln(2-x/2+x)^-1=-ln(2-x/2+x)=-f(x)

故f为奇函数 

f=ln2-x/2+x=ln(-(x-2/x+2))

=ln(-[x+2-4/x+2]

=ln(-1+4/(x+2))

  -1<=x<=1

考察y=4/x+2

为反比例函数

  -1<=x<=1 单调递减

而y=lnx在定义域为增函数

根据复合函数的性质

f在-1,1也为单调递减函数

追问

sorry哈，现在才来查看，弱弱地问下，关于选项B的。
很明显B是偶函数，但我想知道他的单调性，我是这么想的：
1/2 （2^x+2^-x）=2^-1 (2^x+2^-x)=2^(x-1) + 2^-(x+1)
2^(x-1) 增 2^-(x+1) 增 增+增=增
请问我错在哪里了？不好意思，数学盲一个，麻烦了，一定加分哈~

追答

y=1/2 （2^x+2^-x）
x属于r
可令t=2^x
1/2<=t<=2
那么
f(t)=1/2(t+1/t)
很显然这是一个对勾函数
1/2=t<=1 为减函数
1<=t<=2 增函数

有关对勾函数的性质 请看
http://baike.baidu.com/view/701834.htm#sub701834

最后 你的解答这儿出错了
2^-(x+1) 应该为减函数 而不是增函数
因此无法通过增函数和减函数相加得出区间，此法行不通~~~~~~~~~

Answer 2

f(x)=ln[(2-x)/(2+x)]=ln(2-x)-ln(2+x)
f(-x)=-f(x)奇函数
[-1,1], 1≤2-x≤3 ln(2-x)递减
1≤2+x≤3,-ln(2+x)递减

f(x)=1/2[2^x+2^(-x)]
f(-x)=f(x)偶函数

Answer 3

解：因为此函数为奇函数，根据奇函数的性质有f(0)=0.
A选项中的函数符合f(0)=0，B选项中的函数f(0)=1。
所以答案为A.

Answer 4

我是用图像来区分的，首先看B选项的图像如图（http://360edu.com/tongbu/gaoyi/8907/G1SXN907.files/image033.jpg）
则（2^x+2^-x）的图像就会变成近似于（x^2+2）的图像（因为没办法上传图片，所以自己画一下）
则1/2（2^x+2^-x）为偶函数

Answer 5

可以求导