Question

已知函数f(x)对任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1，且f(1)=1,若x∈N*，求f(x)的表达式。

RT
(2)若x∈N*，且x≥2时，不等式f(x)≥(a+7)x-(a+10)恒成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

y=1
f(x+1)=f(x)+2x+4
所以郑者
f(2)=f(1)+2*1+4
f(3)=f(2)+2*2+4
f(4)=f(3)+2*3+4
.
.
f(x)=f(x-1)+2(x-1)+4
左边相加=右边相加
所以f(x)=x^2+3x-3 （x∈N*）
x∈N*，且x≥2时
x^2+3x-3≥(a+7)x-(a+10）
即a≤(x^2-4x+7)/(x-1)
设y=(x^2-4x+7)/(x-1)
则x^2-(4+y)x+7+y=0
∆=(4+y)^2-4*(7+y)≥搭乱0
(y+2)^2≥16
y≥2或y≤-6(舍去）
所以喊枝薯a≤2

追问

f(x)=f(x-1)+2(x-1)+4
↓
所以f(x)=x^2+3x-3

................额，这步看不懂，-_-!

追答

连加，利用自然数求和，等于(首项+末项)*项数/2