Question

三角函数求解

sin6°+sin78°+sin222°+sin294° 求值 带过程！

Answer 1

有图上的立体可以得出，

sin6°+sin78°+sin222°+sin294° =-sin150° =-0.5

Answer 2

法一、
（1）公式2sinAcosB=cos(A-B)-cos(A+B),
证：∵ cos(A-B)=cosAcosB+sinAainB, cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB，作差即得；
（2）sinA+sin(A+B)+sin(A+2B)+……+sin(A+nB)=[ cos(A-B/2)-cos(A+(n+1/2)B) ] /2cosB/2,
证：由（1），2cosB/2 *[ sinA+sin(A+B)+sin(A+2B)+……+sin(A+nB) ]
=cos(A-B/2) -cos(A+B/2)+cos(A+B/2)-cos(A+3/2*B)+cos(A+3/2*B)-cos(A+5/2*B)+……+cos(A+(n-1/2)B)-cos(A+(n+1/2)B)=cos(A-B/2)-cos(A+(n+1/2)B)，两边同除2cosB/2即得；
（3）由（2）sin6°+sin78°+sin150°+sin222°+sin294°=[ cos(6°-36°)-cos(294°+36°) ]/2cos36°=(cos-30°-cos330°)/2cos36°=0，∴sin6°+sin78°+sin222°+sin294° = -sin150°=-1/2。

法二
记A(cos6°,sin6°),B(cos78°,sin78°),C(cos150°,sin150°),D(cos222°,sin222°),E(cos294°,sin294°),易知五边形ABCDE是正五边形，且重心为原点，故由重心坐标公式有[ sin6°+sin78°+sin150°+sin222°+sin294°]/5=0，∴sin6°+sin78°+sin222°+sin294° = -sin150°=-1/2。

Answer 3

sin6°+sin78°+sin222°+sin294°
=(sin6°+sin294°)+(sin78°+sin222°) 和差化积
=2sin[300°/2]·cos[(294°-6°)/2]+2sin[300°/2]·cos[(222°-78°)/2]
=cos144°+cos72°
=-cos36°+cos72°
=-(sin36°cos36°-sin36°cos72°)/sin36°
=(sin108°-sin36°-sin72°)/2sin36°
=(sin72°-sin36°-sin72°)/2sin36°
=-sin36°/2sin36°
=-1/2

Answer 4

因为：sin222=sin（180+42）=-sin42,sin294=sin（360-66）=-sin66。
所以：sin6°+sin78°+sin222°+sin294° =sin6+sin78-（sin42+sin66）
根据和差化积得：原式=2sin42cos36- 2sin54cos12=2sin54sin42- 2sin54sin78
=2sin54（sin42- sin78）= - 2sin54（ sin78+ sin（-42））
再和差化积得：= - 4sin54sin18cos60=- 2sin54sin18=- 2cos36sin18
=- 2cos36sin18cos18/cos18 = - cos36sin36/cos18 = - sin72/(2cos18) = - sin72/(2sin72)= - 1/2

Answer 5

sin6°+sin78°+sin222°+sin294°
=(sin6°+sin294°)+(sin78°+sin222°) 和差化积
=2sin[300°/2]*cos[(294°-6°)/2]+2sin[300°/2]*cos[(222°-78°)/2]
=cos144°+cos72°
=-cos36°+cos72°
= sin18°-sin54°
=2cos[(18°+54°)/2]*sin[(18°-54°)/2]
=-2cos36*sin18
=-cos36*sin36/cos18
=-sin72/(2cos18)
=-1/2