Question

请高人解答初中数学题！

1.25的7次方减5的12次方能被240整除吗？
请说明理由
2.1*2*3*4+1=（ )^2 2*3*4*5+1=( )^2
11*12*13*14+1=( )^2 36*37*38*39+1( )^2
请你用文字语言概括以上算式的规律__________________________________
并用学过的因式分解的知识来说明这个规律

Answer 1

1.25的7次方减5的12次方能被240整除吗？
25^7-5^12
=25^7-25^6
=25^6(25-1)
=25^6×24
=25^5×5×24
=25^5×120
因为25^5末尾数是5，它不能被2整除，
所以：25^5×120不能被2×120整除，
即：25的7次方减5的12次方【不能】被240整除

1*2*3*4+1=（ 5 )^2 2*3*4*5+1=( 11 )^2
11*12*13*14+1=( 155 )^2 36*37*38*39+1=( 1405 )^2
4个连续自然数的积加1等于首尾两数乘积与1的和的平方
（n-2）（n-1）n（n+1）
=（n²-n-1）²
=【（n-2）(n+1)+1】²

Answer 2

1.解：25的7次方=5的14次方，所以原式=5的14次方-5的12次方
提个5的12次方出来=5的12次方x(25-1)=5的12次方x24
显然是不能被240整除的，因为5的12次方，不能整除10
2.解：其规律是=中间两项的乘积减1的平方
如2x3-1；如3x4-1
数学方法证明；
设序列为(a-1)xax(a+1)x(a+2)+1
则原式=a(a+1)(a^2+a-2)+1
=a(a+1)(a(a+1)-2)+1
=(a(a+1))^2-2a(a+1)+1
根据平方和公式，则原式=（a(a+1)+1）^2

Answer 3

第一题：5的12次方就是25的6次方，所以：25的7次方减5的12次方=25的6次方（25-1）
=25的6次方*24，约去24，问题即转化为25的6次方能被10整除吗？不能，25的6次方尾数是5，不能被10整除。
第二题：n(n+1)(n+2)(n+3)=[n(n+3)+1]的平方

Answer 4

1.5的12次方=25的6次方。25的7次方减25的6次方等于25的6次方乘以（25-1）=25的6次方乘以24，因为25的6次方不能被10整除，所以原式不能被240整除。
2. 5 11 155 1405
规律是括号里的数等于乘式两边的数之积加1等于中间两数之积减1。
平方差公式。把1挪到右边，就等于（）^2-1=[()+1][()-1]
例如：155^2-1=154*156=11*14*12*13