Question

抛物线切线方程如何推导? 点 P(X0,Y0)是抛物线 Y^2=2PX上一点，则抛物线过点P的切线方程是：Y0Y=P(X0+X)

有具体的推理过程！

Answer 1

对 Y²=2PX两边求导 2yy'=2p ∴ y‘=p/y
∴抛物线在点p处切线的斜率为p/y0. 切线方程为 y-y0=p/y0 *(x-x0) 即y0y-y0²＝px-px0
又因为Y0²=2PX0 ∴yoy-2px0=px-px0 整理得y0y=p(x+x0)

追问

可以不用导数推理吗？

追答

不用导数也可以,但要繁多了:
设过点P(x0,y0)的切线斜率为k, 则其方程为 y-y0=k(x-x0)-－－－－①
由y²＝2px 得 x=y²/2p－－－－－－②
②代入①整理得 k/2p y²－y+(y0-kx0)=0
令△＝0得 1－4×k/2p*(y0-kx0)=0 整理得2x0k²－2y0k+p=0－－－－③
∵ P在抛物线上，∴ y0²＝2px0 即x0＝y0²/2p－－－－－－④
④代入③整理得y0²k²－2py0k+p²＝0 即（y0k-p）²＝0
∴ k=p/y0
以下步骤同前法。

Answer 2

2yy'=2P
y=y0时，K=p/y0
所以切线方程可写为
y=p/y0(x-x0)+y0
yy0=p(x-x0)+y0^2
yy0=p(x-x0)+2px0=p(x+x0)
所以得切线方程Y0Y=P(X0+X)

追问

2yy'=2P是什么？
为什么K=p/y0

追答

导数就是该切点的切线斜率