Question

X,Y是相互独立的随机变量，都服从参数为n,p的二项分布 求证：Z=X+Y服从参数为2n,p的二项分布

Answer 1

由于X,Y都服从参数为n,p的二项分布，P(X=i)=C(n,i)p^i(1-p)^(n-i)，P(Y=i)=C(n,i)p^i(1-p)^(n-i)。
设Z=X+Y，由于X,Y是相互独立，因此
P(Z=k)=P(X+Y=k)=∑(i=0,k)P(X=i，Y=k-i)=∑(i=0,k)P(X=i)P(Y=k-i)
=∑(i=0,k)C(n,i)p^i(1-p)^(n-i)C(n,k-i)p^(k-i)(1-p)^(n-k+i)
=∑(i=0,k)C(n,i)C(n,k-i))p^k(1-p)^(2n-k)
=C(2n,k)p^k(1-p)^(2n-k)
故Z=X+Y服从参数为2n,p的二项分布。