Question

已知数列{an}中，a1=8，，a4=2，且满足an+2-2an+1+an=0 (n∈N)，求数列{an}的通项公式；设Sn=｜a1｜+｜a2

+...+｜an｜，求Sn ；设bn=1/n（12-an），Tn=b1+b2+...+bn（n∈N）是否存在最大整数m，使得对任意n∈N，均有Tn＞m/32成立？若存在，求出m，若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)an+2-2an+1+an=0 {an}是等差数列
a1=8,a4=2 d=-2 an=10-2n

(2)Sn=10-2+10-4+10-6+...+10-2n
=10n-n^2-n
=9n-n^2
(3)Tn裂项求和 解出Tn 找到Tn最小值 所以m最大为10

Answer 2

an+2-2an+1+an=0 {an}是等差数列
a1=8,a4=2 d=-2 an=10-2n

Sn=9n-n^2 (n<=5)
Sn=20+(n-4)*(n-5) (n>=6)

bn=1/2n(n+1)1/2[1/n-1/(n+1)]
Tn=1/2[1-1/(n+1)]>m/32
1-1/(n+1)>m/16
1/(1+n)最大值=1/2
1-1/(n+1)最小值=1/2 1/2>m/16 m最大值=7

Answer 3

a4=2?
an+2-2an+1+an=0
an+2-an+1=an+1-an
a4=a1-3d d=-2
an=a1-(n-1)2=-2n+10
Sn=s5+s(5到n）
bn=1/n（12-an）=1/n（2n-2)=1/2(1/n-1/(n-1)]
Tn=列项求和在求m

Answer 4

由an+2-2an+1+an=0 知
an+2-an+1=an+1-an
即an是一等差数列，由a1和a2的值求公差d即可，通项公式可以求出来
可以发现它是一逐渐变小的数列，会有小于0的项，考虑sn时，要按an与0的关系分情况讨论
bn的分母是两个等差数列的积，用裂项相消法求出tn
后知剩下的题实际上是恒成立的问题，只要求（Tn）min就可以了

Answer 5

Sn= 9n-n方,n≤5
n方-9n+40,n≥6