Question

数列{an}中a1=8,a4=2,且满足a(n+2)-2a(n+1)+an=0求通项公式（2）设Sn=‖a1‖+‖a2‖+```‖an‖求Sn

Answer 1

解：由a(n+2)-2a(n+1)+an=0
得特征方程：m^2-2m+1=0
则m1=m2=1
则可令an=(c1+c2*n)*m1^n=c1+c2*n
则a1=c1+c2=8
a4=2=c1+c2*4=2
解得c1=10，c2=-2
则an=10-2n
则an为递减的等差数列，公差为-2
当n<=5时，an>=0,Sn=‖a1‖+‖a2‖+```‖an‖=a1+a2+……+an=na1+n(n-1)/2*(-2)=n(9-n)
当n>=6时，an<0,Sn=‖a1‖+‖a2‖+```‖an‖=S5+|a6+a7+……+an|=5*(9-5)+|a6|+(n-5)(n-5-1)/2*2=20+|10-2*6|+(n-5)(n-6)=n^2-11n+52

Answer 2

解：
(1)
a4=2a3-a2
a3=2a2-a1
a4=2(2a2-a1)-a2=3a2-2a1=3a2-2×8=3a2-16=2
3a2=18
a2=6
a2-a1=6-8=-2
a3=2a2-a1=2×6-8=12-8=4
(a3-a2)-(a2-a1)=(4-6)-(6-8)=0
a(n+2)=2a(n+1)-an
a(n+2)-a(n+1)=a(n+1)-an=...=a2-a1=-2，为定值。
数列{an}是以8为首项，-2为公差的等差数列。
an=8-2(n-1)=10-2n
数列{an}的通项公式为an=10-2n
(2)
令10-2n≥0，解得n≤5，即数列前5项非负，从第6项开始，以后各项均<0。
n≤5时，Sn=a1+a2+...+an=10n -2(1+2+...+n)=10n -2n(n+1)/2=9n -n²
n≥6时，
Sn=a1+a2+...+a5-a6-a7-...-an
=-(a1+a2+...+an) +2(a1+a2+...+a5)
=-(9n-n²)+2×(9×5 -5²)
=n²-9n+40

Answer 3

a(n+2)-2a(n+1)+an=0
a(n+2)-a(n+1)=a(n+1)-an
所以an等差
a1=8,a4=2,
d=-2
an=-2n+10
n=5时，an=0
因为sn=a1+a2+a3+a4+a5+(-a6)+(-a7)+```所以先让sn全部变负，再加上两倍的正的a1到a5，正好就是要求的
所以Sn=‖a1‖+‖a2‖+```‖an‖= -sn+2s5
sn=-(-n^2+9n)+2*20=n^2-9n+40

懂？

Answer 4

a(n+2)-2a(n+1)+an=0
a(n+2)+an=2a(n+1)
所以该数列为等差数列
a4=a1+3d
2=8+3d
d=-2

an=a1+(n-1)d
=8-2(n-1)
=10-2n

an=10-2n>=0
n<=5

a5=a1+4d=8-2*4=0
a6=a15d=8-2*5=-2

S5=(a1+a5)*5/2
=(8+0)*5/2
=20

San-S5
=(a6+an)*(n-5)/2
=(-2+10-2n)*(n-5)/2
=(4-n)(n-5)
=-n^2+9n-20

Sn=‖a1‖+‖a2‖+```‖an‖
=S5+‖San‖
=20+‖-n^2+9n-20‖
=20+n^2-9n+20
=n^2-9n+40