Question

已知xy为正数,且x+4y=1,求1/x+1/y的最小值

是 x , y 为正数!!!! 不要看错了!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

解：

(x+4y)=1代入得

1/x+1/y

=(x+4y)/x+(x+4y)/y

=1+4y/x+x/y+4

=5+4y/x+x/y

（1）当x与y符号相同（同为正数或者同为负数）时：

4y/x+x/y≥2√(4y/x*x/y)=4

当且仅当4y/x=x/y即x²=4y²时，1/x+1/y的最小值为5+4=9

（2）当x与y符号相反（一正一负）时，根据对勾函数性质知不存在最小值。

简介

在数学分析中，在给定范围内（相对极值）或函数的整个域（全局或绝对极值），函数的最大值和最小值被统称为极值（极数）。皮埃尔·费马特（Pierre de Fermat）是第一位提出函数的最大值和最小值的数学家之一。

如集合论中定义的，集合的最大和最小值分别是集合中最大和最小的元素。 无限集，如实数集合，没有最小值或最大值。

Answer 2

因为(x+4y)=1，所以二者相乘
1/x+1/y=(x+4y)(1/x+1/y)
展开得1/x+1/y=5+x/y+4y/x，
用基本不等式，1/x+1/y=5+x/y+4y/x >= sqrt(x/y × 4y/x)+5 =9（满足一正、二定、三相等）

所以1/x+1/y最小值为9

Answer 3

1/x+1/y>=2√（1/xy）①
把x+4y=1代入①
1/x+1/y>=2√（1/（y-4y²））
y-4y²的最大值为1/16
代入 所以最小值为8

Answer 4

解：X=1-4Y
则即求1/（1-4Y）+1/Y
对Y求导，原式=(（-6Y+1)(2Y-1))/(1-4Y)^2Y^2
则有效极值点Y=1/6，
则原式=3+6=9

Answer 5

这里要用到一个知识点:若a＞0,b＞o,则a＋b≥2√ab, ∴y／x＋x／y≥2, ∵1／x＋1／y＝（x＋4y）／x＋（x＋4y）／y＝5＋4y／x＋x／y≥5＋2√（4y／x·y／x）＝9,所以1／x＋1／y的最小值是9