Question

如图,等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为AC边上一点，连接BD，以BD为腰作等腰Rt△BDE，DE交BC于点F

（1）求证△ABD∽△CBE
（2）连接CE，求证BC-CE=√2CD
（3)若AB=2，D为AC中点，请直接写出线段DF的长度为__
PS如有根号麻烦用√表示

Answer 1

(1)
∵ △ABC 和△DBE都是等腰直角三角形
∴ BA/BC=BD/BE=1/√2
∵∠ABD=∠CBE =45°-∠DBC
∴△ABD∽△CBE

（2）
AD/CE = 1/√2，即：CE = √2 AD
∵BC=√2AC
∴ BC-CE =√2AC-√2AD=√2（AC–AD）=√2 CD

（3）
易知：BD = √5DH =CH=√2/2
∴BH =√（BD^²-DH^²）=3√2/2
∵△BDH∽△BFD
∴BD^²=BH*BF
∴BF=5√2/3
∴DF =√(BF^²-BD^²)=√5/3

(1)∠ABC = ∠DBE = 45° ==> ∠ABD = ∠CBE
BA: BC = BD: BE = √2
符合相似三角形中的SAS情况。所以△ABD∽△CBE
(2) 由(1)可知，CE: AD = BC: BA， 而 BC: BA = √2，所以
BC - CE = √2（BA - AD) = √2 (AC- AD) = √2CD
(3) 过F做AC的垂线，交AC于点P。那么通过比较三个角可以得到△ABD∽△PDF，
所以PD: PF = AB:AD = 2:1, 即PD = 2PF。
△CPF是等腰直角三角形，所以PC = PF。
由此可以得知，DC ＝ PC+ PD = 3PF
而DC ＝ AC / 2 = 2/2 = 1，所以PF = 1/3，PD = 2/3
根据勾股定理，DF ＝ √（PF^2 + PD^2) ＝ √5 / 3

以上为纯初中算法，其实(3)也可直接利用三角函数去计算，tan∠ABC = 1, tan∠ABD = 1/2 可以算出tan∠CBD = 1/3。
因此DF = BD/3。 而BD ＝√（AB^2 + AD^2) = √5

Answer 2

三角形abd∽三角形cbe
ab/CB=BD/EB=cos45°
∠abd=45-∠dbc
∠cbe=45-∠dbc
同角的余角相等
所以（“sas相似”）

bc=√2ac ce=√2ad （因为相似）
∴bc-ce=√（ac-ad）=√2cd
第三问不会