Question

如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD＞AB)，将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边

如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD＞AB)，将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE，AE＝10，在线段AC上是否存在一点P，使得2AE²＝ACXAP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

存在这么一点P，2AE²＝ACXAP
两边同时除以2即：
AE²＝AOXAP
变成比例的形式即：
AE/AP=AO/AE
而AO/AE是角0AE的余弦，则
AE/AP也应该表示角0AE的余弦
所以应该过E作AE的垂线，与AC的交点即是P

追问

请问那题中给AE=10 能求什么呢?

追答

AO/AE=AE/AC 且 AC=2AO ,AE =10则：
AO=5√2
由于AE/AP=AO/AE
AP=AE∧2 ÷AO 即
100÷5√2 =10√2
（我数学符号使用的不知道你能看明白不）

Answer 2

1、连结AC，A和C关于EF轴对称，因此EF是AC的垂直平分线，设AC与EF交于M点，
AE=CE，AF=CF，
〈AME=〈CME=90度，（对顶角），
AM=CM，
AE//CF，
〈AEM=〈CFM（内错角），
△AEM≌△CFM，
EM=FM，
则四边形AECF是平行四边形，（对角线互相平分），
又AE=CE，
所以四边形AECF是菱形。
2、AF=AE=10cm,
设AB=x,BF=y,
S△ABF=xy/2=24,
xy=48,
x^2+y^2=10^2=100,(1)
2xy=96,(2)
(1)+(2),
(x+y)^2=196,
x+y=14,
x=6,y=8,或x=8,y=6,
则S△ABF周长=AB+BF+AF=6+8+10=24（cm).

Answer 3

证明：（1）连接EF交AC与O，
当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，

∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°；（1分）
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠OCF，
∴△EAO≌△FCO，
∴OE=OF，（2分）
∴四边形AFCE是菱形．（3分）

（2）四边形AFCE是菱形，∴AF=AE=2 13 ；（4分）
设AB=x，BF=y，∵∠B=90°，∴x2+y2=52；（5分）
又∵S△ABF=12，∴1 2 xy=12，则xy=24；（6分）
∴（x+y）2=100，
∴x+y=10或x+y=-10（不合题意，舍去）；（7分）
∴△ABF的周长为10+2 13 ．（8分）