Question

半径为R的半球内有一内接圆柱，求此圆柱的全面积的最大值？

半径为R的半球内有一内接圆柱，求此圆柱的全面积的最大值？
侧面积我知道有最大值，可是我却算不出来全面积的最大值。。。。感觉侧面积和底面积是有关系的啊？侧面积都能够有最大值，为什么加上地面就不好算了呢？？？

Answer 1

半径为R的半球内接圆柱如下图所示，则有：

r=Rsinθ，H=Rcosθ，0<θ<π/2。

圆柱的全面积=2πr^2+2πrH=2πR^2(sinθ)^2+2πR^2sinθcosθ

=2πR^2[(sinθ)^2+sinθcosθ]

=πR^2(sin2θ-cos2θ+1)

当θ=3π/8时，全面积最大，其值=2πR^2(1+√2)