Question

如图,点O在直线AB上，OF平分∠BOC，OE平分∠AOC，CF⊥OF于点F,求证：FC‖OE.

如图,点O在直线AB上，OF平分∠BOC，OE平分∠AOC，CF⊥OF于点F,求证：FC‖OE.

Answer 1

Ⅰ证明：
∵OF平分∠BOC，OE平分∠AOC（已知）
∴2（∠COF+∠COE）=∠AOC+∠BOC（角平分线定义）
=∠AOB=180°（平角定义）
∴∠COF+∠COE =90°=∠EOF（角的和）
又∵CF⊥OF于点F（已知）
∴∠F=90°（垂直的定义）
∴∠EOF+∠F=90°+90°=180°
∴FC‖OE（同旁内角互补，两直线平行）.

Ⅱ证明：
∵OF平分∠BOC，OE平分∠AOC（已知）
∴2（∠COF+∠COE）=∠AOC+∠BOC（角平分线定义）
=∠AOB=180°（平角定义）
∴∠COF+∠COE =90°=∠EOF（角的和）
又∵CF⊥OF于点F（已知）
∴∠F=90°（垂直的定义）
∴在△CFO中有∠C+∠COF=90°（三角形的内角和定理）
∴∠COE=∠COF（同角的余角相等）
∴FC‖OE（内错角相等，两直线平行）

Ⅲ证明：
思路是构造同位角：延长CF交AB于D构造∠AOE的同位角并证明其相等，根据（同位角相等，两直线平行）判断FC‖OE。
但第一种是最直接简单的。
总结：证明线平行，就去看角并想法证明有关角的问题；证明角的问题，就去看线并想法先证明有关线的问题。即线<--->角<--->线；角<--->线<--->角。

Answer 2

此题应根据同旁内角相加等于180°证明平行的思路来解答，具体步骤如下：
证明：
∵CF⊥OF，OF平分∠BOC，OE平分∠AOC
∴∠COB+∠COA=180°则½（∠COB+∠COA)=∠COF+∠COE=90°
∴∠FOE+∠CFO=180°
∴FC‖OE(同旁内角相加等于180°，所以两直线平行)
注意：图上∠FOE不应该是垂直的，原图应该没有。

Answer 3

因为 OF平分∠BOC，OE平分∠AOC
所以 ∠AOE+∠FOB=∠EOC+∠COF
因为 ∠AOE+∠EOC+∠COF+∠FOB=180度（平角）
所以 ∠EOC+∠COF=180/2=90度
所以 ∠EOC⊥OF
因为 CF⊥OF
所以 FC‖OE

Answer 4

证明：(1)∵OF平分∠BOC，OE平分∠AOC,CF⊥OF于点F
∴,∠COF+∠C=∠COF+∠COE
∴∠COE=∠C
∴ FCIIOE

(2)OF平分∠BOC，OE平分∠AOC
∴∠EOC+∠COF=90°（即OE⊥OF)
又∵CF⊥OF
∴∴ FCIIOE

Answer 5

证：
∵OF平分∠BOC，OE平分∠AOC
∴∠COF＝∠FOE ∠COE＝∠EOA
∵∠COA+∠COE=180度
∴2（∠EOC+∠COF)=180°
∴∠EOC+∠COF=90°
∴∠EOF=90°
∵CF⊥OF
∴∠CFO=90°
∴CF‖EO（同旁内角互补 两直线平行）