Question

请数学高手解释关于定积分性质的问题？

请问：1、∣∫f(x)dx∣≤∫∣f(x) ∣dx ，我怎么觉得左右两边总是相等，请说明一下什么情况下左边小于右边？左边不能大于右边吗？
2、微积分学第一基本定理的公式：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数… Φ(x)＝∫（上x下a）f(t) dt… 请问这其中f(x)和 f(t)有什么区别？
3、课本中还说：在运算过程中，为了方便起见有时Φ(x)＝∫（上x下a）f(t) dt也写成Φ(x)＝∫（上x下a）f(x) dx， 说此时的两个x是不同的两个概念，一会说上限x是固定的，一会说是变化的，难道积分上限x和积分变量x不是同时变化的吗？
1、不好意思第一个问题原题是这样的：
定积分的性质-性质5 如果在区间〔a.b〕上，f(x)≥0,则 ∫（上b下a）f(x)dx≥0
由这个性质得出推论： 推论1、如果在区间〔a.b〕上f(x)≤g(x) 则
∫（上b下a）f(x)dx≤ ∫（上b下a）g(x)dx
推论2、 ∣ ∫（上b下a）f(x)dx∣≤ ∫（上b下a）∣∣f(x)∣dx
我觉得左右两边总是相等，什么情况下左边小于右边？

Answer 1

讨论：当F(x)>0 f(x)<0时 左边FX的绝对值=FX 右边就等于-F(x)不等号应该反向的啊 请检查一下
2 自变量取值的不同，因为在变上限函数中自变量是某定积分的上限取值变化，函数曲线是一条关于上限值和某函数定积分值的曲线
而定积分函数中，上下限取值是固定的，所得Y值是根据某导函数曲线与X轴（也可以是Y轴）及X=a X=b围成的图形的面积，其值不取决于X的变化，而取决于导函数的形式
3 在f(t)表示的式子中t的变化跟上限函数x的变化没有任何联系，因为ft 此时已经是一条固定的曲线

可能用词不是很精确，但就是这个道理了 ，欢迎探讨

Answer 2

(1)这个问题可以举一个例子，f（x）为分段函数，在[-1，0]上为-1，在[0，1]为1，则两个积分就不相等了！
其实第二个和第三个问题都是一样的，微积分学第一基本定理中，积分上限函数代表的意思是求在区间[a，x]上f（x）的原函数，也就是F（x）-F（a）,即F（x）-F（a）求导等于函数f（x）！

Answer 3

1.首先、你的推论2不是在条件在区间〔a.b〕上，f(x)≥0下讲述的
第二、定积分 ∫（上b下a）f(x)dx并不是表示曲线y=f(x)、x=a、x=b、y=0围成的图形的面积，它表示的值是四者围成的图形中在y=0上方的图形总面积减去其位于y=0下方的图形总面积的值。而 ∫（上b下a）∣∣f(x)∣dx 才是表示曲线y=f(x)、x=a、x=b、y=0围成的图形的面积。所以只要y=f(x)有小于0的部分就有 ∣ ∫（上b下a）f(x)dx∣≤ ∫（上b下a）∣∣f(x)∣dx