Question

已知f(x)=ax-1/x,g(x)=lnx,x＞0，a∈R

（1）求曲线y=g(x)在点P(1,g(1))处的切线
（2）是否存在常数a，使l也是曲线y=f(x)的一条切线，求a的值，若不存在，简要说明理由
（3）设F(x)=f(x)-g(x),讨论函数F（x）的单调性

Answer 1

1)y=g(x)=lnx,y'=g'(x)=1/x，x=1时，g'(1)=1,g(1)=0
曲线y=g(x)在点P的切线L：y=x-1
(2)f(x)=ax-1/x, f'(x)=a+1/x^2=1，x^2=1/(1-a), x=±1/√(1-a)
当x=1/√(1-a)时，f(x)=a/√(1-a)-√(1-a)=(2a-1)/√(1-a)
将x=1/√(1-a),y=(2a-1)/√(1-a)代入y=x-1，得2a-1=1-√(1-a),a=3/4
当x=-1/√(1-a)时，f(x)=-a/√(1-a)+√(1-a)=(1-2a)/√(1-a)
将x=-1/√(1-a),y=(1-2a)/√(1-a)代入y=x-1，无解
当且仅当a=3/4时，L也是曲线y=f(x)的一条切线
(3)F(x)=ax-1/x-lnx, 定义域x>0,
F’(x)=a+1/x^2-1/x=(1/x-1/2)^2+a-1/4
a≥1/4时，F’(x) ≥0, F(x)在(0,+∞)内递增
a<1/4时，x∈(0,2/[1+√(1-4a)])或x∈(2/[1-√(1-4a)],+∞)内递增，
x∈(2/[1+√(1-4a)],2/[1-√(1-4a)])内递减。