Question

已知等差数列前n项的平方和,如何求n

已知等差数列A1，A2.A3........An的公差是d，且知道等差数列的前n项和是B,求n,怎么求啊？？？跪求各为数学达人！！！
等差数列中A1是知道的！知道的不是前n项和
而是前n项的平方和，求n

Answer 1

前n项的和的公式是：B=n·A1+d·n·(n-1)/2
已知 B、A1、d 的情况下，上式是一个关于n的一元二次方程：
d·n²+(2·A1-d)·n-2·B=0
用一元二次方程求解公式即可求出，考虑到n是正整数，应该舍去一个不符合要求的解

追问

不好意思，我写错了！不是知道的前n项和，而是知道的是前n项的平方和，求n，麻烦您了！！

追答

前n项平方的和的公式是：
B=A1²·n+d²·[1²+2²+……+(n-1)²]+2d·A1·[1+2+……+(n-1)]
=A1²·n+d²·(n-1)·n·(2n-1)/6+d·A1·(n-1)·n
已知 B、A1、d 的情况下，上式是一个关于n的一元三次方程：
(2·d²)·n³+(6·d·A1-3·d²)·n²+(6·A1²-6·d·A1+d²)·n-6·B=0
一元三次方程可以用卡尔丹公式法或盛金公式法求解，只需求出其中的符合条件的正整数解即可。

如果给出的 B、A1、d 没有错误的话，得到的一元三次方程应该是可以用常用的因式分解法解出正整数解的。
举例来说，比如A1=2，d=3，B=21109，那么该关于n的一元三次方程就是：
18·n³+9·n²-3·n-126654=0
可以分解成(n-19)(18·n²+351·n+6666)=0
对于正整数n来说，18·n²+351·n+6666>0，那么只能n=19
上面因式分解的诀窍其实就是对6·B=126654的因数分解：126654=2×3×11×19×101，在此基础上进行凑数(n必是2、3、2×3、11、19、2×11、3×11、2×19、3×19、2×3×11、101、……中的一个，从小的开始试)。
再如：A1=6，d=-2，B=276，此时该关于n的一元三次方程是：
8·n³-84·n²+292·n-1656=0
1656=2×2×2×3×3×23，n必然是2、3、4、6、8、9、12、18、23……中的一个，从小的开始试算，n=9刚好是它的正整数解。

Answer 2

A(n)=a+(n-1)d,
[A(n)]^2=a^2+(n-1)^2d^2+2ad(n-1),
B=[A(1)]^2+[A(2)]^2+...+[A(n)]^2=na^2+d^2[0+1^2+...+(n-1)^2]+2ad[0+1+...+(n-1)]
=na^2+d^2[(n-1)n(2n-1)]/6+ad(n-1)n,
解关于n的3次方程.

Answer 3

Sn=n(a1+an)/2
或Sn=a1*n+n(n-1)d/2
由公式Sn=n*a1+n(n-1)d/2 知道
B=n*a1+n*(n-1)*d/2 ,知道B、a1、d ，才可求出n是多少。

追问

不好意思
我写错了
从看一下问题补充谢谢了