Question

设函数f（x）=sinx-cosx+x+1 0≤x＜2π。求函数的单调区间与极值

Answer 1

函数f（x）的导函数为：cosx+sinx+1
由cosx+sinx+1>0得
根2*sin（x+π/4）+1>0
sin（x+π/4）>-根2/2
所以0<x+π/4<π+π/4或2π-π/4<x+π/4<2π (0≤x＜2π)
所以0<x<π或3π/2<x<7π/4
所以单调递增区间为0<x<π和3π/2<x<2π
单调递减区间为π<x<3π/2

由cosx+sinx+1=0得
sin（x+π/4）=-根2/2
所以x=π或x=3π/2
所以x=π时，有极大值：sinπ-cosπ+π+1 =π+2
x=3π/2时，有极小值：sin3π/2-cos3π/2+3π/2+1=3π/2

追问

根2*sin（x+π/4）+1>0
sin（x+π/4）>-根2/2
怎么运算来的？

追答

sinx+cosx=√2(√2/2sinx+√2/2cosx)
=√2(sinxcosπ/4+sinπ/4cosx)
=√2sin(x+π/4)

因为 cosx+sinx+1>0 所以 √2sin(x+π/4)+1>0 所以 sin（x+π/4）>-√2/2