Question

在三角形ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分角ABC交AE于点M

在三角形ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分角ABC交AE于点M，经过B，M两点的圆O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为圆O的直径。
1.求证：AE与圆O相切
2.当BC等于4，cos角C等于1/3时，求圆O的半径.

Answer 1

1
连接OM
∵OM=OB,
∴∠OMB=∠OBM
∵BM平分角ABC
∴∠OMB=∠CBM
∴OM//BC
∵AE⊥BC
∴AE⊥OM,相切，1问得证
2
∵∠C=∠B=∠AOM
∴cosC=cosB=cos∠AOM=1/3
∴AB=3BE,AO=3OM=3r
∴AB=AO+OB=4r=3BE
∴r=1.5