Question

已知f(x)=2sin^4x+2cos^4x+cos^22x-3. (1)求函数的最小正周期（2）求函数在闭区间[π/16，3π/16]取得最小

已知f(x)=2sin^4x+2cos^4x+cos^2(2x-3). (1)求函数的最小正周期（2）求函数在闭区间[π/16，3π/16]取得最小值时x的取值

Answer 1

解：
f(x)=2(sin²x+cos²x)²-4sin²xcos²x+cos²2x-3
=2×1²-sin²2x+cos²2x-3
=cos²2x-sin²2x-1
=cos4x-1
(1)函数的最小正周期T=2π/4=π/2
(2)x∈[π/16，3π/16]
4x∈[π/4，3π/4]
∴f(x)=cos4x-1在[π/16，3π/16]是减函数
当x=3π/16时
f(x)有最小值f(3π/16)=cos3π/4-1=-√2/2-1

追问

这个我已经见过了，问题是4sin²xcos²x如何变成sin²2x

追答

4sin²xcos²x如何变成sin²2x的回答：
sin2x=2sinxcosx
(sin2x)^2=(2sinxcosx)^2=4sin²xcos²x

追问

为什么x∈[π/16，3π/16]
4x∈[π/4，3π/4]
∴f(x)=cos4x-1在[π/16，3π/16]是减函数

追答

x∈[π/16，3π/16]是已知条件，乘4就得到
4x∈[π/4，3π/4]
cos4x的最小正周期前面已经得到，是π/2，由此可以得到cos4x的曲线，由曲线中可以看出cos4x在[π/16，3π/16]是减函数