Question

利用定积分定义求积分

利用定积分定义计算下面的积分(用对黎曼和求极限法)
∫[a,b]e^cxdx (c属于R) ∫[a,b]cosxdx ∫[a,b]sinxdx

求大家给出详细过程，不胜感激

Answer 1

都很难计算的，特别是求极限
∫(a到b)[e^(cx)]dx
底Δx=(b-a)/n
高f(ck)=e^[c*(b-a)*k/n]=e^[(cbk-cak)/n]
和式∑(下k=1上n) e^[(cbk-cak)/n]
=???
这个太复杂，不计了
结果为(1/c)[e^(bc)-e^(ac)]

∫(a到b)cosxdx
底Δx=(b-a)/n
高f(ck)=cos[(b-a)*k/n]=cos[(bk-ak)/n]
和式∑(下k=1上n) cos[(bk-ak)/n]
=(1/2)csc[(b-a)/(2n)]cos[(2bn-2an+b-a-nπ)/(2n)]-(1/2)cos[(b-a-nπ)/(2n)]csc[(b-a)/(2n)]
∴定积分=lim(n→+∞) [(b-a)/n]*∑(下k=1上n) cos[(bk-ak)/n]
=sinb-sina

∫(a到b)sinxdx
底Δx=(b-a)/n
高f(ck)=sin[(b-a)*k/n]=sin[(bk-ak)/n]
和式∑(下k=1上n) sin[(bk-ak)/n]
=(1/2)csc[(b-a)/(2n)]sin[(2bn-2an+b-a-nπ)/(2n)]-(1/2)[(b-a-nπ)/(2n)]csc[(b-a)/(2n)]
∴定积分=lim(n→∞) [(b-a)/n]*∑(下k=1上n) sin[(bk-ak)/n]
=cosa-cosb

Answer 2

∫[a,b]e^cxdx (c属于R)
∫[a,b]e^cxdx =c*e^cx｜[a,b]=c(e^cb-e^ca)=ce^c(e^b-e^a)

∫[a,b]cosxdx=-sinx｜[a,b]=-(sinb-sina)

∫[a,b]sinxdx=cosx｜[a,b]=cosb-cosa

追问

必须是利用定积分的定义，就是先求出一个黎曼和，然后对黎曼和求极限的方法，不过还是很感谢你的回答。