Question

在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直BC，垂足为E，连结DE交AC于点P，过P作PF垂直BC，...

在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直BC，垂足为E，连结DE交AC于点P，过P作PF垂直BC，垂足为F，则CF比CB的值是多少？

Answer 1

∵PF平行DC
∴PF/DC=EF/EC……①
∵PF平行AB
∴PF/AB=CF/CB……②
∵DC=AB,由①②得:
EF/EC=CF/CB……③
设BC＝2，CF=x，则
EF=1-x;EC=1;
代入③式，得：
(1-x)/1=x/2
解得 x＝2/3
∴CF/CB=x/2＝1/3

Answer 2

解：OE⊥BC，PF⊥BC，所以OE‖CF‖CD
△CPF∽△COE，CF/CE=PF/OE
△EPF∽△EDC，EF/CE=PF/CD。
OE/CD=BE/CB=OB/OD=1/2
所以EF=CF/2，CF=2CE/3
CE=BE=CB/2
因此CF=CB/3
CF：CB=1：3

Answer 3

过P点作PQ垂直于DC，垂足为Q，设AB=DC=2a，AD=BC=2b，PF=X,PQ=Y易得CE=BE=b.由等面积法有S三角形EPC+S三角形DPC=S三角形BDE即0.5bX+0.5*2a*y=0.5b*2a又因为X/Y=a/b得X= 2a/3 Y=2b/3故有 CF/CB=（2a/3）/(2a) =1/3

Answer 4

因为OE垂直BC
三角形OPE∽三角形CPD
OP/CP=OE/CD=1/2
CP/CO=2/3=CF/CE=CF/(CB/2)
CF/CB=2/6=1/3