Question

m为任意自然数，请说明代数式1/4m^4-1/2m^3+1/4m^2的值一定为整数且为一完全平方数

Answer 1

1/4m^4－1/2m^3＋1/4m^2
＝1/4m^2(m^2－2m＋1)
＝1/4m^2(m－1)^2
＝[1/2m(m－1)]^2
由于m是自然数，因此m(m－1)是两个连续整数的积，一定是偶数，从而1/2m(m－1)一定是整数，因此原式必是完全平方数。

Answer 2

解：1/4m^4-1/2m^3+1/4m^2
=1/4m^2（m^2-2m+1）
=1/4m^2(m-1)^2
=[ 1/2*m*(m-1) ]^2
因为m*(m-1)一定是偶数，所以1/2*m*(m-1) 一定是整数，所以[ 1/2*m*(m-1) ]^2是整数还是完全平方数

Answer 3

上式整理得
A=1/4*M^2*(M-1)^2
说明M与M-1是相邻的两个数
所以必有一个是偶数
设M=2K(K为自然数)（设M-1=2K也是一样的）
得A=（K*(K-2)）^2
因此A为整数，且为K*(K-2）的完全平方数