Question

证明 若a，b，c均为正整数 则a^3+b^3+c^3>=3abc 当且仅当a=b=c成立

Answer 1

条件中只要求a，b，c均为正数
首先了解(a±b)²=a²±2ab+b²≥0，即a²+b²≥2ab，等号成立当且仅当a=b
然后由：(a+b)(a-b)²=a³+b³-ab²-a²b≥0
(a+c)(a-c)²=a³+c³-ac²-a²c≥0
(b+c)(b-c)²=b³+c³-bc²-b²c≥0
三式相加得：2a³+2b³+2c³-ab²-a²b-ac²-a²c-bc²-b²c≥0
即：2a³+2b³+2c³≥ab²+a²b+ac²+a²c+bc²+b²c=a(b²+c²)+b(a²+c²)+c(a²+b²)≥6abc
所以：a³+b³+c³≥3abc，等号成立当且仅当a=b=c成立

Answer 2

运用图中的变形进行分析即可：