Question

设f(x)是定义域在R上的奇函数,在(负无穷,0)上有2xf'(2x)+f(2x)<0且f(-2)=0，则不等式xf(2x)<0的解集为

设f(x)是定义域在R上的奇函数,在(负无穷,0)上有2xf'(2x)+f(2x)<0且f(-2)=0，则不等式xf(2x)<0的解集为

Answer 1

记g(x)=xf(2x）， g(-x)=-x*f(-2x)=x*f(2x)=g(x),所以g(x)是偶函数。g(0)=0.
在(负无穷,0)上有 g'(x)=2xf'(2x)+f(2x)<0, 说明g(x)在该区间递减，而g(-1)=-1*f(-2)=0,
所以解集为（-1,0）,由于是偶函数 故还有一个解集是（0,1）
答案是（-1,0）并上（0,1）

Answer 2

令F(x)=xf(2x),则F'(x)=2xf'(2x)+f(2x)
.因为f为奇函数，有F(-x)=-xf(-2x)=xf(2x)=F(x),
故F(x)为偶函数。
在（负无穷，0）上，有F'(x)<0,即F(x)单减。且F（-1）=-f（-2)=0.
所以F（x)<0的解集为(-1,0)并上(0，1)。