Question

泰勒级数：一个函数用泰勒级数展开后，结果在展了几阶以后导数为0了，说明什么问题？

一般的一个函数不都是能用泰勒级数无穷的展开吗？展到中间间断了是怎么回事呢？是已经完全精确近似了吗？还是说明中间出了什么问题？

Answer 1

f(x)=f(x0)+f`( x0)(x- x0)+.....
这里要把一个函数展开成泰勒级数到某一级，是需要有f(x)在该级上有导数存在，而你所说的展开到中间断了，是因为在之后该函数的更高阶导数在这一点的值0，所以更高项的展开就为0了，没必要再展开了
如f(x) = x 有一价导数为1，更高阶的导数，如二阶，三阶等都等于0了，所以它的更高项展开值也是为0：
f(x)=x在x =0处展开的话就是f(x) = f(0) + f'(0)*(x-0) + f''(0)(x-0)^2/2 + ......
= 0 + x + 0..
= x
如果要在x = 1展开则是
f(x) = f(1) + f'(1)(x-1)+ ..........(这更高阶的展开全为0)
= 1 +( x - 1)
= x
从上面可以看出f(x)= x的泰勒展开并不是说展开到第二项就断了，而是后面的项都为0，也可以按你说的已经是和原式一模一样的，已经不是精确的问题，而是完全等价
你可以试一下其它的函数，结果都是这样，除了像三角函数这种可以有无穷高阶导数不为0的函数才会有无穷项的泰勒展开

Answer 2

解答：
1.首先：带有余项的泰勒展开式，是精确的展开式子。（是等于不是约等于）
若是展开到n阶以后，n+1阶导数为零。
那么，我们就是说此时的值，是于f(x)完全精确的值。不是精确的近似值，是精确值。
即是说任意一个X对应的f(x)都等于泰勒展开的函数值
同时还可以得出结论，原函数f(x)本身就是一个n阶多项式。就是我们展开得到的多项式。

2.展开到中间断了，展开到中间断了不能说明任何问题。
只能说明在展开点处，的该阶导数为0.

Answer 3

只有多项式函数才会出现这种情况，就是精确表达式