Question

设f(x)=sinπx是[0,1]上的函数,且定义f1(x)=f(x),...fn(x)=f(fn-1(x)),n∈N*,则满足fn(x)=x,x∈[0,1]的x的

个数是 A.2n B.2n² C.2的n次方 D.2（2n-1）
急盼高手给个较详细的解答，不胜感激啊！

Answer 1

应选C。

此题既然是选择题，并非要求你严格证明。所以你只要通过直观得出结论就可以了。
显然，y=f1(x)与y=x的图像有两个交点。接下来考虑f2(x)，在x属于[0,1/2]时，f1(x)从0单调上升到1，于是f2(x)从0上升到1再下降到0；当x属于[1/2,1]时，又是这样一个周期。你近似画出它的图像（只要增减性画对）就知道它会上升到1，下降到0，再上升到1，再下降到0，这样和y=x有四个交点。
接下来，你再看f3(x)，就会发现周期又缩短了一半。它有4次上升下降，与直线y=x有8个交点。
归纳可以得出结论。