Question

设函数为f(x)=ax^3-2bx^2+cx+4d(a, b ,c ,d属于R)奇函数,且x=1, 取极小值-2/3,(1)求函数f(x)的解析式(2)

设函数为f(x)=ax^3-2bx^2+cx+4d(a, b ,c ,d属于R)奇函数,且x=1, 取极小值-2/3,(1)求函数f(x)的解析式(2)当x∈[-1,1]时，图像上是否存在两点,使得过此两点处的切线互相垂直？证明结论.(3)当x1,x2∈[-1,1]时，求证|f(x1)-f(x2)|≤4/3
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Answer 1

f(x)=f(-x) ==> b=d=0, f'(x)=3ax^2+c ,f'(1)=0,f(1)=-2/3
3a+c=0,a+c=-2/3 ; a=1/3,c=-1, f(x)=1/3x^3-x;
(2)f'(x)=x^2-1，x∈[-1,1]，则-1<=f'(x)<=0 令 x1,x2∈【-1,1】0<=f'(x1)f'(x2)<=1 ,
f'(x1)f'(x2)≠-1 ； 图像上不存在两点,使得过此两点处的切线互相垂直
（3）f'(x)<=0 ,-1<=x<=1 f(-1)=2/3,-2/3<= f(x)<=2/3
| f(x1)-f(x2)|<=2/3-(-2/3)=4/3

Answer 2

(1)f(x)奇函数,所以f(x)=-f(-x)。分别领x=1，x=2得到两个方程，可以求出b,d
因为x=1, 取极小值-2/3，f(x)的导数在x=1处为零，得到一个方程；
把（1，-2/3）代入f(x)，可以得到另一个方程
太费事了，不打了。后面自己做