Question

四边形ABCD中，AD‖BC，E在BC上，F在CD上，∠AEF=∠ACD，∠BAC=∠D 求证:AB/BC=AE/EF

Answer 1

证明：设AC与EF的交点为O, 连接EF

∵∠1=∠2，∠AOE=∠COF

∴△AOE∽△COF

∴AO/OE=OF/OC

∵∠AOF=∠COE

∴△AOF∽△EOC

∴∠AFE=∠ACB

∵AD‖BC

∴∠CAD=∠ACB

∵∠BAC=∠D

∴∠B=∠2

∴∠B=∠1

∴△ABC∽△AEF

∴AE/EF=AB/BC

Answer 2

解：连结AF
因为AD‖BC
所以∠CAD=∠BCA
又∠BAC=∠D
所以△CAD∽ △BCA
所以∠B=∠ACD
又因为∠AEF=∠ACD，且点F在CD上
所以∠B=∠AEF，且点A、E、C、F四点共圆
故∠AFE=∠ACE
所以△ABC~ △AEF
所以AB/BC=AE/EF

PS：关于四点共圆如果不能直接使用，可通过证明得到
设：AC与EF相交于点O
则△AOE~ △FOC
则AO/FO=EO/CO
故△AOF~ △EOC
故∠AFE=∠ACE

Answer 3

如图所示：证明思路是要证明 △ABC∽△AEF。即可得到 结论 AB/BC=AE/EF 

 证明：连接 AF。AC与EF交于点O。

∵ AD‖BC   ， ∴∠CAD=∠ACB，且已知∠BAC = ∠D

∴在△ABC∽△DCA，则∠ACD=∠CBA。又已知 ∠AEF=∠ACD  ∴ ∠AEF=∠ABC

再证明 △AOF ∽△EOC  

在△AOE和△COF中： ∠AOE=∠COF  ，∠AEF=∠OCF.。∴△AOE∽△COF

∴AO/FO=EO/CO，即可得出：△AOF∽ △EOC 。

∴∠AFE=∠ACE 

由上知 ，∠AEF=∠ABC   ∴△ABC∽△AEF   即得 AB/BC=AE/EF  （有图）

 好了，希望可以帮到你。呵呵

Answer 4

（1）AE=EF；
证明：如图：过点E作EH‖AB交AC于点H．
则∠BAC+∠AHE=180°，∠BAC=∠CHE，
∵AB=BC=AC，∴∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠CHE=∠ACB=∠B=60°，
∴EH=EC．
∵AD‖BC，∴∠FCE=180°-∠B=120°，
又∠AHE=180°-∠BAC=120°，
∴∠AHE=∠FCE，
∵∠AOE=∠COF，∠AEF=∠ACF，∴∠EAC=∠EFC，
∴△AEH≌△FEC，
∴AE=EF；

（2）猜想：（1）中的结论是没有发生变化．
证明：如图：过点E作EH‖AB交AC于点H，则∠BAC+∠AHE=180°，∠BAC=∠CHE，
∵AB=BC∴∠BAC=∠ACB
∴∠CHE=∠ACB∴EH=EC
∵AD‖BC∴∠D+∠DCB=180°．
∵∠BAC=∠D∴∠AHE=∠DCB=∠ECF
∵∠AOE=∠COF，∠AEF=∠ACF，
∴∠EAC=∠EFC，
∴△AEH≌△FEC，
∴AE=EF；

（3）猜想：（1）中的结论发生变化．
证明：过点E作EH‖AB交AC于点H．
由（2）可得∠EAC=∠EFC，
∠AHE=∠DCB=∠ECF，
∴△AEH∽△FEC，
∴AE：EF=EH：EC，
∵EH‖AB，
∴△ABC∽△HEC，
∴EH：EC=AB：BC=k，
∴AE：EF=k，
∴AE=kEF．

追问

你写的是什么题？

Answer 5

你把点B向左右移动，你会发现AB/BC的值在变化，但其余点的位置并不改变，即题设条件没有变，AE/EF的值没变，所以AB/BC=AE/EF是不对的，