Question

已知A,B,C均在椭圆M:x^2/a^2+y^2=1(a>1)上,直线AB,AC分别过椭圆的左右焦点F1,F2当,

已知A B C均在椭圆M:x^2/a^2+y^2=1(a>0)上 直线AB AC分别过椭圆的左右焦点F1 F2 ，当向量AC·向量F1F2=0时，有9向量AF1·向量AF2=向量AF1^2
①求椭圆M的方程②设P是椭圆M上任意一点 EF为圆N:x^2+(y-2)^2=1的任一条直径 求向量PE·向量PF的最大值
那个不要复制啊，是错掉的！！~我都说了不要复制不要复制！！·不会回答可以不回答！！~什么玩意啊！·

Answer 1

①当向量AC·向量F1F2=0时,AF2垂直于F1F2，
9向量AF1·向量AF2
=9|AF1||AF2|cosA=9|AF2|^2=|AF1|^2
=>|AF1|=3|AF2| 又|AF1|+|AF2|=2a
=>|AF1|=3a/2,|AF2|=a/2,2c=|F1F2|=(√2)a
=>a^2=2(a^2-2)=>a^2=4
椭圆M的方程为x^2/4+y^2/2=1

②设P,E,F的坐标依次为(2cosα,(√2)sinα),(cosβ,2+sinβ),(-cosβ,2-sinβ)
则向量PE·向量PF
=(cosβ-2cosα)(-cosβ-2cosα)+
(2+sinβ-(√2)sinα)(2-sinβ-(√2)sinα)
=4(cosα)^2-4(√2)sinα+2(sinα)^2+3
=-2(sinα)^2-4(√2)sinα+7
=11-2(sinα+√2)^2
当sinα=-1时，向量PE·向量PF取最大值5+4√2

Answer 2

①AC*F1F2=0,AF1⊥F1F2,
9AF1*AF2=AF1^2,为方便起见，记|AF1|=r,|AF2|=s,而|F1F2|=2c
即9rscosA=r^2
所以cosA=r/(9s)
由直角三角形可得
cosA=s/r，所以r=3s,及4c^2+s^2=r^2,于是4c^2=8s^2,c^2=2s^2
2a=r+s=4s,a=2s又a^2-c^2=1,即4s^2-2s^2=1，s^2=1/2
a^2=2,
椭圆方程为x^2/2+y^2=1

②由条件可知，圆与椭圆在上顶点处外切
|EF|=2，
PE*PF=|PE||PF|cos∠EPF=(|PE|^2+|PF|^2-|EF|^2)/2
记圆心为C，则PC为三角形PEF的边EF上的中线，于是
4|PC|^2+|EF|^2=2(|PE|^2+|PF|^2)
即|PE|^2+|PF|^2=|EF|^2/2+2|PC|^2
PE*PF=2|PC|^2-|EF|^2/2=2|PC|^2-2
所以只需求|PC|的最大值
为此，我们考虑圆x^2+(y-2)^2=9与椭圆的位置关系，
联立椭圆方程可解得y仅有-1一个解，
这说明椭圆的下顶点到C的距离最远，
即|PC|的最大值为3，
所以PE*PF的最大值为16

Answer 3

：（Ⅰ）因为AC→•F1F2→=0，所以有AC→⊥F1F2→
所以△AF1F2为直角三角形；
∴|AF1→|cos∠F1AF2=|AF2→|
则有9AF1→•AF2→=9|AF1→||AF2→|cos∠F1AF2=9|AF2→|2=AF1→2=|AF1→|2
所以，|AF1→|=3|AF2→|
又|AF1→|+|AF2→|=2a，
∴|AF1→|=3a2，|AF2→|=a2
在△AF1F2中有|AF1→|2=|AF2→|2+|F1F2→|2
即(3a2)2=(a2)2+4(a2-1)，解得a2=2
所求椭圆M方程为x22+y2=1
（Ⅱ）PE→•PF→=(NE→-NP→)•(NF→-NP→)=(-NF→-NP→)•(NF→-NP→)=(-NP→)2-NF→2=NP→2-1
从而将求PE→•PF→的最大值转化为求NP→2的最大值
是椭圆M上的任一点，设P（x0，y0），则有x022+y02=1即x02=2-2y02
又N（0，2），所以NP→2=x02+(y0-2)2=-(y0+2)2+10
而y0∈[-1，1]，所以当y0=-1时，NP→2取最大值9
故PE→•PF→的最大值为8

Answer 4

①当向量AC·向量F1F2=0时,AF2垂直于F1F2，
9向量AF1·向量AF2
=9|AF1||AF2|cosA=9|AF2|^2=|AF1|^2
=>|AF1|=3|AF2| 又|AF1|+|AF2|=2a
=>|AF1|=3a/2,|AF2|=a/2,2c=|F1F2|=(√2)a
=>a^2=2(a^2-2)=>a^2=4
椭圆M的方程为x^2/4+y^2/2=1