Question

数学题：若已知x²-x+1=0，求x的1999次方+x的2000次方+1/x的1999次方+1/x的2000次方的值

Answer 1

解：由已知x²-x+1=0得（x+1)(x²-x+1)=0即x^3=1；
显然x≠0,因此还可得（x²-x+1）/x=0 由此得x+(1/x)=1；两边平方可得x^2+(1/x^2)=-1；
x^1999=(X^3)^666×x=x，x^2000=x^2,
所以1999次方+x的2000次方+1/x的1999次方+1/x的2000次
=x+x^2+1/x+1/x^2=1-1=0

Answer 2

已知x²-x+1=0
两边同乘以(x+1)得 x^3+1=0
x^3=-1
两边同除以x得 x+1/x=1
两边再平方得 X^2+1/x^2=-1
x的1999次方+x的2000次方+1/x的1999次方+1/x的2000次方
=x*(x^3)^666+(x^2)*(x^3)^666+1/[x*(x^3)^666]+1/[(x^2)*(x^3)^666]
=x*(-1)^666+(x^2)*(-1)^666+1[x*(-1)^666]+1/[(x^2)(-1)^666]
=x^2+x+1/x+1/x^2
=1-1
=0

Answer 3

这道题在实数范围内是不成立的。因为x²-x+1=0的Δ<0。
复数范围的话 x=(1+√3i)/2或者(1-√3i)/2,所以1/x=(1-√3i)/2或者(1+√3i)/2，实际上x和1/x就是这个方程的两个虚根。看着不像多项式展开能容易解出来的样子。
考虑x+1/x=1 可得出 x^2+1/x^2=-1
又考虑到x²-x+1=0 x≠-1 (x+1)(x²-x+1)=0 所以 x^3=-1 ，从而可以将原式化简为x+1/x+x^2+1/x^2，
所以答案是0。
这道题目技巧性稍强。
祝你进步。