Question

已知点P（1，-1），过点P作抛物线T：y=x2的切线，其切点为M（x1,x2),N(x2,y2) (x1<x2) 求x1与x2的值？

若以点P为圆心的圆E与直线MN相切，求圆E的面积？

Answer 1

已知点P（1，-1），过点P作抛物线T：y=x²的切线，其切点为M（x₁，y₁)，N(x₂，y₂)
(x₁<x₂) 求x₁与x₂的值？
解：设过P(1，-1)的直线方程为y=k(x-1)-1=kx-k-1,代入抛物线方程得：
x²=kx-k-1，即有x²-kx+k+1=0，因为相切，直线与抛物线只有一个交点，故其判别式
△=k²-4(k+1)=k²-4k-4=0，∴k=(4±√32)/2=2±2√2
令抛物线的导数y′=2x=2±2√2，故切点的横坐标x₁=1-√2，x₂=1+√2.

Answer 2

y=x^2 y’=2x 过点P做抛物线的切线方程为y=2x(x-1)-1=2x^2-2x-1 求切点：x^2=2x^2-2x-1
j解得：X1=1-√2， x2=1+√2. 将其代入y=x^2 得y1=3-2√2, y2=3+2√2.
直线MN的方程为：y-y1=k(x-x1) k=(y2-y1)/(x2-x1)=2
直线MN为：y=2x+1或 2x-y+1=0
点P到直线MN的距离为d=(2x-y+1)/√2^1+1^2=(2+1+1)／√5
圆E的面积为：S=∏r^2 其中r=d
s=∏(4/√5)^2=16∏/5

Answer 3

具体解题方法，答案不知道有没有算错