Question

已知三角形三边为a、b、c,a/c+a/b=b+c/b+c-a,求三角形状

Answer 1

∵a/c+a/b=(b+c)/(b+c-a)
∴(ac+ab)/bc=(b+c)/(b+c-a)
a(c+b)/bc=(b+c)/(b+c-a)
∵b+c≠0，
∴a/bc=1/(b+c-a)
a(b+c-a)=bc
ab+ac-a²-bc=0
(ab-a²)-(bc-ac)=0
a(b-a)-c(b-a)=0
(b-a)(a-c)=0
（1）令a-c=0，b-a≠0，∴a=c 三角形是等腰三角形
（2）令a-c≠0，b-a=0，∴a=b，三角形是等腰三角形
（3）令a-c=0，b-a=0，∴a=b=c 三角形是等边三角形
适合条件a/c+a/b=(b+c)/(b+c-a)的三角形ABC是等腰三角形或等边三角形。

Answer 2

等腰三角形
原式两边都乘bc得
ab+ac=c(b+c)+bc(c-a)
a(b+c)=c(b+c)+bc(c-a)
c(b+c)-a(b+c)+bc(c-a)=0
(b+c)(c-a)+bc(c-a)=0
(c-a)(b+c+bc)=0
∵a，b，c是三角形的三边
即b+c+bc≠0
所以c-a=0
c=a
因此是等腰三角形