Question

求证：根号2不是有理数

求证：根号2不是有理数，用反证法证明

Answer 1

假设√2是有理数
则√2可以写成一个最简分数
假设是p/q=√2，p和q互质
平方
p^2=2q^2
右边是偶数，所以左边p^2是偶数
则p是偶数
设p=2n
则4n^2=2q^2
q^2=2n^2
这样则q也是偶数
这和p和q互质矛盾
所以假设错误
所以√2不是有理数

Answer 2

假设根号2是有理数，则不妨设根号2=a/b，故有a=2b，
但a/b为最简分数，必有a、b均为正整数且a、b互质，
这与a=2b矛盾。
故根号2不是有理数

Answer 3

证明：假设根号2是有理数，则可设根号2=Q/P（P、Q是整数，而且互质），则Q=根号2*P
所以 Q平方=2*P平方，因为右边是2的倍数，故左边Q平方也是2的倍数，从而Q是2的倍数，设Q=2n，代入Q平方=2*P平方
得：2*n平方=P平方，由于左边是2的倍数，
故右边P平方也是2的倍数，从而P是2的倍数，则P、Q都是2的倍数，
即P、Q有公因数2，这与P、Q互质相矛盾。
所以根号2不是有理数，是无理数。

Answer 4

证明根号2不是有理数，也就是要证明根号2是无理数。
证明：假设根号2是有理数，设根号2=Q/P（P、Q是整数，而且互质），则Q=根号2*P
所以 Q平方=2*P平方，因为右边是2的倍数，故左边Q平方也是2的倍数，从而Q是2的倍数，设Q=2n，代入Q平方=2*P平方得：2*n平方=P平方，由于左边是2的倍数，故右边P平方也是2的倍数，从而P是2的倍数，则P、Q都是2的倍数，即P、Q有公因数2，这与P、Q互质相矛盾。所以根号2不是有理数，是无理数。

Answer 5

1.使用反证法可以证明
若根2为有理数,可设根2=p/q满足p,q为非0整数且互质.
推出2*q^2=p^2
推出p^2是偶数
推出2*q^2被四整除
推出q^2是偶数
推出q,p是偶数
推出p,q不互质,矛盾
所以根2不是有理数

2.如果根号2是一个分数，那么根号2可以表示为m/n(m、n是正整数，且没有大于1的公约数），即根号2=m/n.
根据平方根的意义，（m/n)的平方等于2，即m平方/n平方等于2，
2*n的平方=m平方。
由于上式左边是偶数，所以右边也是偶数，从而m也是偶数。
设m=2p（p是正整数），
把m=2p代入2*n的平方=m平方，得
2*n的平方=4*p的平方，即n平方=2*p的平方。
因此，n也是偶数。
于是，m、n都是偶数，所以m、n都是2的倍数，这与m、n没有大于1的公约数相矛盾。
因此，根号2=m/n是不可能的，也就是说根号2不是分数，所以不是有理数。