Question

已知函数f(x)=√3sin(ωx)-2[sin(ωx/2)]^2的最小正周期为3π

1.当x属于[π/2，3π/4]时，求函数f(x)最小值
2.在三角形ABC中，若f（C）=1，且2sin^B=cos(A-C)+cosB，求sinA的值

Answer 1

解：f(x)=√3sin(ωx)-2[sin(ωx/2)]^2 PS：下式中，sin(ωx)一律脱去小括号，即sinωx
=√3sinωx-(1-cosωx)
=√3sinωx + cosωx -1
=2sin(ωx + π/6) - 1
因为f(x)最小正周期为T=3π=2π/ωx，所以ω=2/3，则f(x)=2sin(2x/3 + π/6) - 1
(1)因为x∈[ π/2，3π/4]，所以π/2≤2x/3 + π/6)≤π2/3，
由正弦函数和图像及性质可得，√3/2 ≤sin(2x/3 + π/6)≤1
则√3-1≤f(x)≤1，故最小值为：√3-1
（2）f(C)=2sin(2C/3 + π/6) - 1=1，则sin(2C/3 + π/6)=1，
则2C/3 + π/6=2kπ + π/2 ，解得：C=3kπ + π/2 （C∈(0, π); k∈Z)
所以C=π/2 (k=0)，所以A+B=π/2
2sin^B=cos(A-C)+cosB，即可化为：2cosA=cos(A-π/2) + sinA
即cosA=sinA，显然A为锐角，所以，当且仅当A=π/4时，cosA=sinA成立
所以，sinA=sin(π/4)=√2/2 （三角形ABC是以C为直角的等腰直角三角形）