Question

证明：a³／（b＋c）＋b³／（a＋c）＋c³／（b＋a）≥½（ab＋bc＋ac）

Answer 1

利用柯西不等式的推论。b1^2/a1+b2^2/a2+..bn^2/an>=(b1+b2+..+bn)^2/(a1+a2+...+an)
当且仅当bi/ai=k(常数) i 取1，2、。。n
a³／（b＋c）＋b³／（a＋c）＋c³／（b＋a）=a^4／a（b＋c）＋b^4／b（a＋c）＋c^4／c（b＋a）>=(a^2+b^2+c^2)^2/2(ab+ac+bc)>=1/2（ab＋bc＋ac）
这里用到（a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca）
如果没看懂请留言。看懂了给个好评谢谢。

Answer 2

引理：(a³+b³+c³)(x³+y³+z³)(p³+q³+r³)≥(axp+byq+czr)³
其实柯西不等式的一个推广，不予证明。
应用：a³／（b＋c）＋b³／（a＋c）＋c³／（b＋a）
≥（a+b+c）³/6（a+b+c）
=（a+b+c)²/6
≥½（ab＋bc＋ac）

Answer 3

取T=a+b+c
a³／（T-a）＋b³／（T-b）＋c³／（T-c）≥½（ab+bc+ca)
取函数f(x)=x³／（T-x)＝（x³-T³）／（T-x)+T³／（T-x)
＝-x^2-xT-T^2+T³／（T-x)
对f求二次导数f’＝-2x-T+T³／（T-x)^2
f''=-2+2T³／（T-x)^3=2{(T／（T-x))^3-1}
由于x的取值范围为0到T，所以(T／（T-x))^3>1,所以
可得f‘’>0
函数f在取值范围0到T上是下凸（凹）函数
所以x1³／（T-x1）＋x2³／（T-x2）＋x3³／（T-x3）≥3*((x1+x2+x3)/3)^3／(T-(x1+x2+x3)/3)
所以a³／（T-a）＋b³／（T-b）＋c³／（T-c）≥3*（T/3）^3／(T-T/3)
=T^2/6=1/6 (a+b+c)^2
(a+b+c)^2=2(ab＋bc＋ac)+a^2+b^2+c^2
=2(ab＋bc＋ac)+1/2{a^2+b^2+a^2+c^2+b^2+c^2}
≥3(ab＋bc＋ac)
所以的a³／（b＋c）＋b³／（a＋c）＋c³／（b＋a）≥1/6 (a+b+c)^2）≥½（ab＋bc＋ac）