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①求∠BAC的度数；
②将△沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H，求证：四边形AFHG是正方形；
③若BD=6,CD=4，求AD的长。
25．(10分)探究问题
(1)阅读理解：
①如图1，在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA＋PB＋PC的值为△ABC的费马距离．
②如图2，若四边形ABCD的四个顶点在同一个圆上，则有AB•CD＋BC•AD＝AC•BD．此为托勒密定理．
(2)知识迁移：
①请你利用托勒密定理，解决如下问题：
如图3，已知点P为等边△ABC外接圆的BC⌒上任意一点．求证：PB＋PC＝PA．
②根据(2)①的结论，我们有如下探寻△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120º)的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图4，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：在BC⌒上取一点P0，连接P0A、P0B、P0C、P0D．
易知P0A＋P0B＋P0C＝P0A＋(P0B＋P0C)＝P0A＋ ；
第三步：请你根据(1)①中定义，在图4中找出△ABC的费马点P，线段 的长度即为△ABC的费马距离．
(3)知识应用：
2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难．为解决老百姓饮水问题，解放军某部到云南某地打井取水．
已知三村庄A、B、C构成了如图5所示的△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120º)，现选取一点P打水井，使水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值． 展开
一、先解决上题。
如图一所示：
①连接OA、OB、OC、过点O作OM⊥AD于M，
因为：OE⊥BC
由垂径定理可知：BE=CE加上OE=1/2BC
能够推出OE=BE=CE
所以∠1=∠2=45°而∠BAC=1/2∠BOC=45°
②由折叠可知：∠G=∠F=90°∠3+∠4=∠BAC=45°
所以：∠GAF=90°加上AG=AF=AD
对于四边形AFHG来说，就有三个角是直角，并且有一组邻边相等
所以四边形AFHG是正方形。
③BD=6,CD=4可知：BC=10、OE=BE=CE=5
所以OA=OB= 5√2， OM=ED=1
在直角△AOM中可求出AM=7又知DM=OE=5
所以：AD=12
二、关于探究问题的解答，你原题中没有图形，并且数字不全，根据意思回答如下：
（2）知识迁移之①由托勒密定理可知：PB•AC＋PC•AB＝PA•BC．
而AC=AB＝BC．约分可得PB＋PC＝PA（这个你自己作图可知）。
②根据(2)①的结论，我们有如下探寻△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120º)的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图二，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：在BC⌒上取一点P0，连接P0A、P0B、P0C、P0D．
易知P0A＋P0B＋P0C＝P0A＋(P0B＋P0C)＝P0A＋P0D（此处没有，想来是一个填空）
第三步：请你根据(1)①中定义，在图4中找出△ABC的费马点P，线段（AD） 的长度即为△ABC的费马距离．
关于第三步的解释：连接AD交BC⌒于点P，点P就是费马点，AD=PA+PB+PC就是费马距离，由于PA与PD此时在一条直线上，因而其和总小于其他地方的P0A＋P0D。
（3）中的知识应用作法同上，不过你的图5我没有看到，费马距离就没法具体来求了，只能给你一般的求法，假如知道三角形的三边abc，则由高中要学的正余弦定理和海伦公式能够推出AD=PA+PB+PC=√{(a^2+b^2+c^2+√[3(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)])/2}。
当然，如果你的数字比较特殊，我们应该还有简单的具体求法。
说明：由于百度知道里面只能上传一个图片，图二就没法显示了，放在我的QQ空间里面，你自己去看吧，地址在下面。
初三的学生能够思考到这些问题，的确是不容易的，看来你是一个挺聪明用功的学生，祝你好运！
参考资料： http://user.qzone.qq.com/502417897/infocenter
