Question

已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长AB＝2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于

F.求证A1C⊥BDE；求A1B于平面BDE所成角的正弦值

Answer 1

解：（Ⅰ）D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），
C1（0，2，4），D1（0，0，4）
设E（0，2，t），则 BE =(-2，0，t)， B1C =(-2，0，-4)．
∵BE⊥B1C，
∴ BE • B1C =4+0-4t=0．
∴t=1．
∴E（0，2，1）， BE =(-2，0，1)．
∵ A1C =(-2，2，-4)， DB =(2，2，0)，
∴ A1C • BE =4+0-4=0且 A1C • DB =-4+4+0=0，
∴ A1C ⊥ BD 且 A1C ⊥ BE ，
∴ A1C ⊥平面BDE． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 A1C =(-2，2，-4)是平面BDE的一个法向量，
∵ A1B =(0，2，-4)，
∴cos〈 A1C ， A1B ＞= A1C • A1B | A1C || A1B | =√30/6
∴A1B与平面BDE所成角的正弦值为 √30/ 6 ． （为什么我的答案没人采取⊙﹏⊙b汗）

Answer 2

以C点为原点确定空间直角坐标系
　标出各点坐标
　求出A1B、A1C向量和BDE的法向量n
　　向量A1C*n=0　
　　第一题可证出
　　A1B向量与面BDE的发向量n的夹角余弦（正值）
　　就是第二题所要求的
　　本题是敝人在手机上写的　数字不便引入　因为不同坐标系有不同数字　过程粗劣　但方法简单通用　希望对你有所帮助哦