Question

一道微积分中值定理的证明题，麻烦高手给出证明过程，万分感激

设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，f(0)=f(1)=0，f(1/2)=1，试证:
(1)存在n属于(1/2,1)，使得f(n)=n;
(2)存在k属于(0,n)，使得f'(k)-[f(k)-k]=1;

Answer 1

证明：(1)设g(x)=f(x)-x，则
g(1/2)=f(1/2)-1/2=1-1/2=1/2>0
g(1)=f(1)-1=-1<0
所以，g(1/2)g(1)<0
由零点定理，存在n属于(1/2,1)，使得g(n)=f(n)-n=0
即存在n属于(1/2,1)，使得f(n)=n
(2)设G(x)=[f(x)-x]e^x，则
G(0)=f(0)-0=0又G(n)=[f(n)-n]e^n=0
所以，G(0)=G(n)
由罗尔定理，存在k属于(0,n)，使得G'(k)=[f'(k)-1]e^x-[f(k)-k]e^x=0
即存在k属于(0,n)，使得f'(k)-[f(k)-k]=1

追问

G'(k)不应该等于[f'(k)-1]e^x+[f(k)-k]e^x吗？怎么中间的加号您写成减号了呢？

追答

呵呵。。。没注意，修改如下：
设G(x)=[f(x)-x]/e^x，则
G(0)=f(0)-0=0又G(n)=[f(n)-n]/e^n=0
所以，G(0)=G(n)
由罗尔定理，存在k属于(0,n)，使得G'(k)={[f'(k)-1]e^x-[f(k)-k]e^x}/e^(2x)=0
即存在k属于(0,n)，使得f'(k)-[f(k)-k]=1

追问

这种辅助函数的构造方法是怎么想出来的啊，求赐教，或者有什么好的辅导书有这类的题的方法讲解啊?

追答

这种构造方法很典型也常见，充分利用e^x这个函数的导数仍是本身。陈文灯编的一本考研复习全书或者李永乐、李正元编的考研复习全书对于这方面的题证明方法总结比较好。

Answer 2

这个是对的! 厉害~
刚才我的那个回答的确错了!