Question

高二数学题

已知函数f(x)=ax³+bx²+cx(a≠0,x∈R）为奇函数，且f(x)在x=1处取得极大值2
（1）求y=f(x)的解析式
（2）记g(x)=f(x)/x+(k+1)lnx,求函数y=g(x)的的单调区间。
（3）在（2）的条件下，当k=2时，若函数y=g(x)的图像的直线y=x+m的下方，求m的取值范围

Answer 1

（1）f(x)=ax³+bx²+cx(a≠0,x∈R）为奇函数，
∴b=0,f'(x)=3ax^2+c
f(x)在x=1处取得极大值2,
∴f(1)=a+c=2,
f'(1)=3a+c=0,
解得a=-1,c=3,f(x)=-x^3+3x.
(2)g(x)=-x^2+3+(k+1)lnx,x>0.
g'(x)=-2x+(k+1)/x=(k+1-2x^2)/x,
k<=-1时g'(x)<0,g(x)↓；
k>-1时，0<x<√[(k+1)/2]时g'(x)>0,g(x)↑；x>√[(k+1)/2]时g'(x)<0,g(x)↓。
（3）g(x)=-x^2+3+3lnx<x+m,
m>-x^2-x+3+3lnx,记为h(x)(x>0),
h'(x)=-2x-1+3/x=-2(x-1)(x+3/2)/x,
0<x<1时h'(x)>0,h(x)↑；x>1时h'(x)<0,h(x)↓：
h(x)<=h(1)=1,
∴m的取值范围是（1,+∞）。

Answer 2

因为奇函数 所以b=0（可以用f（x）=f（-x））又f（x‘）|x=1 ==3a+c=0；极值，a+c=2a=-1，c=3，所以f（x）=--x3+3x
二、
g（x）=-x2+(k+1)lnx+3 ；首先确定x》0，因为lnx；对g（x）求导得，-2x+（k+1）/x=0;此为极点的可能点，得x=根号 【（k+1）/2】时取得极点。又开口向下。所以可得在（0，根号 【（k+1）/2】）递增；在（根号 【（k+1）/2】，+∞）递减
三、把k=2代入，可得-x2+3lnx+3 。
g在y下方表明，g恒小于y，即 -x2+(k+1)lnx+3 《x+m恒成立。整理后得m》-x2+3lnx-x+3 恒成立。即m》max（右侧），还是极值问题，对右边求导，可得x=1.5或-1（舍）时极值。那么m》-2.25+3ln1.5-1.5+3，即m大于3ln（3/2）-3/4