Question

一次函数y=ax+b的图像与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y=k/x的图像相交于C，D两点，分别过C、D两点作

一次函数y=ax+b的图像与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y=k/x的图像相交于C，D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF DE.
(1)三角形CEF与三角形DEF的面积相等吗？为什么？
（2）试说明：三角形AOB相似于三角形FOE.

Answer 1

1
y=ax+b,x=0,y=b,B(0,b),y=0,x=-b/a,A(-b/a,0)
y=ax+b y=k/x
x(ax+b)=k
ax^2+bx-k=0
a(x+b/2a)^2=k-b^2/4a
Cx=[-b-√(k-b^2)]/2a Cy=2ak/[-b-√(k-b^2)]
Dx=[-b+√(k-b^2)]/2a Dy=2ak/[-b+√(k-b^2)]
E(0,Cy),F(Dx,0)
Scef=Dx*Cy/2=k/[b^2-(k-b^2)]/2=1/2
Sdef=Dx*Dy/2=1/2
Scef=Sdef
2
OA/OB=|(-b/a)/b|=|1/a|
OF/OE=k/(4a^2k)=1/4a^2
OA/OB≠OF/OE
三角形AOB不相似三角形FOE

Answer 2

连EF、OC、OD，由CE‖x轴，得△CEF面积等于△CEO面积，同理△DEF面积等于△DOF面积，由反比例函数性质得△CEO面积等于△DOF面积，从而（1）得证。 由（1）结论两三角形面积相等知EF边上的高相等，可证得EF‖CD，从而（2）得证

Answer 3

这个题目的关键在于两点，一要注意到C和D在y=k/x上，第二个计算E和F的坐标。
（1）设C和D的坐标为(Xc,Yc),(Xd,Yd),那么E和F的坐标分别是(0,Yc)和（Xd,0).三角形CEF的面积等于CE*OE/2 = |Xc*Yc|/2 = |k|/2,同理可得DEF的面积等于 |k|/2.所以等证。注意CE边上的高就是C点Y坐标的绝对值。
(2). 只要证明EF平行于AB，那么命题即可得证。已知过AB的直线斜率是a,过EF的直线斜率由两点公式是(Yf-Ye)/(Xf-Xe) = (0 - Yc)/(Xd - 0) = -Yc/Xd. 根据函数方程，可以求的C和D的坐标分别是([-b-sqrt(b^2+4ak)]/(2a), b/2-sqrt(b^2+4ak)/2), ([-b+sqrt(b^2+4ak)]/(2a), b/2+sqrt(b^2+4ak)/2), 将坐标带入后得EF斜率为a，所以AB平行于EF。进一步根据角角角定理，可得三角形AOB相似于三角形FOE

Answer 4

（1）设C和D的坐标为(Xc,Yc),(Xd,Yd),那么E和F的坐标分别是(0,Yc)和（Xd,0).三角形CEF的面积等于CE*OE/2 = |Xc*Yc|/2 = |k|/2,同理可得DEF的面积等于 |k|/2.所以等证。注意CE边上的高就是C点Y坐标的绝对值。
(2). 只要证明EF平行于AB，那么命题即可得证。已知过AB的直线斜率是a,过EF的直线斜率由两点公式是(Yf-Ye)/(Xf-Xe) = (0 - Yc)/(Xd - 0) = -Yc/Xd. 根据函数方程，可以求的C和D的坐标分别是([-b-sqrt(b^2+4ak)]/(2a), b/2-sqrt(b^2+4ak)/2), ([-b+sqrt(b^2+4ak)]/(2a), b/2+sqrt(b^2+4ak)/2), 将坐标带入后得EF斜率为a，所以AB平行于EF。进一步根据角角角定理，可得三角形AOB相似于三角形FOE y=ax+b,x=0,y=b,B(0,b),y=0,x=-b/a,A(-b/a,0)
y=ax+b y=k/x
x(ax+b)=k
ax^2+bx-k=0
a(x+b/2a)^2=k-b^2/4a
Cx=[-b-√(k-b^2)]/2a Cy=2ak/[-b-√(k-b^2)]
Dx=[-b+√(k-b^2)]/2a Dy=2ak/[-b+√(k-b^2)]
E(0,Cy),F(Dx,0)
Scef=Dx*Cy/2=k/[b^2-(k-b^2)]/2=1/2
Sdef=Dx*Dy/2=1/2
Scef=Sdef
2、
OA/OB=|(-b/a)/b|=|1/a|
OF/OE=k/(4a^2k)=1/4a^2
OA/OB≠OF/OE
三角形AOB不相似三角形FOE

Answer 5

大家都做得不错，只需要利用好等高和平行证明就好了。

Answer 6

设C、D的坐标分别是(x1,y1) (x2,y2)
则E, F的坐标分别是(0,y1) (x2, 0)
把C、D的坐标分别代入反比例函数和直线方程
y1=k/x1 x1=k/y1 (1)
y2=k/x2 (2)
y1=ax1+b (3)
y2=ax2+b (4)
(3)-(4) y1-y2=a(x1-x2)
将(1)(2)代入上式得
y1-k/x2=a(k/y1-x2)
化简得 [k/(x2y1)](ax2+y1)=0
显然k≠0
则ax2+y1=0
y1/x2=-a
EF的直线斜率k2=-y1/x2=a
因直线AB的斜率k1=a
所以k1=k2
故ABIIEF
所以三角形AOB与三角形FOE相似