Question

已知抛物线y^2=4x,F是焦点,直线l是经过点F的任意直线

Answer 1

1.
设M(x，y)，直线L： x-1=ky
(这样设就已经包括斜率不存在的情况了，但是不包括斜率为0的情况，但是这题斜率为0显然不用讨论，这里的k不是斜率，斜率是1/k )
直线OM斜率为y/x
∴(1/k)·(y/x)=-1
k=-y/x
又∵M在L 上
∴x-1=ky，把k=-y/x代入得
x-1=-y²/x
即x²-x+y²=0
即(x-1/2)²+y²=1/4，x≠0

2.
设C(y1²/4，y1)、D(y2²/4，y2)，则直线CD：y-y1=k[x - (y1²/4)]
由题意得：
x1x2+y1y2=-4
x1=y1²/4，x2=y2²/4
∴(y1y2)²/16 + y1y2 =-4
解得y1y2= -8
x1x2=(y1y2)²/16=4
k=(y1-y2)/(x1-x2)=(y1-y2)/[(y1²/4)-(y2²/4)]=4/(y1+y2)
∴直线CD：y-y1=k[x - (y1²/4)]
y-y1=[4/(y1+y2)][x - (y1²/4)]
y=[4/(y1+y2)][x - (y1²/4)] +y1
y=[4/(y1+y2)]·x - [4/(y1+y2)]·(y1²/4) +y1
y=[4/(y1+y2)]·x - [y1²/(y1+y2)] +y1
y=[4/(y1+y2)]·x + [y1y2/(y1+y2)]
y=[4/(y1+y2)]·x - [8/(y1+y2)]
y=[4/(y1+y2)](x - 2)
当k不存在时，CD：x=2
∴直线CD必定经过点(2，0)

Answer 2

设C(a^2,2a),D(b^2,2b)
因为OC*OD=-4,则a^2*b^2+4ab=-4，解得ab=-2
又直线CD的斜率=2/(a+b)
所以直线CD的方程为y=2/(a+b)*(x-a^2)+2a，即y=2/(a+b)*(x+ab)，即y=2/(a+b)*(x-2）
显然直线CD恒过定点（2,0）。