Question

在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE为角平分线，F为BC的中点，连接DE、DF、EF，则结论：BE+CD=BC，试证明

Answer 1

证明：设BD,CE交于O点

在BC截取BM=BE.连OM,

因为BD、CE为角平分线，

所以∠CBD=∠ABD=∠ABC/2,∠BCE=∠ACB/2

所以∠CBD+∠BCE=(∠ABC+∠ACB)/2,

因为∠BAC=60°

所以∠ABC+∠ACB=180-∠A=180-60=120

所以∠CBD+∠BCE=120/2=60,

所以∠BOC=180-∠CBD-∠BCE=180-60=120°

在△BEO和△BMO中,

BE=BM,

∠EBO=∠MBO

BO=BO

所以△BEO≌△BMO（SAS）

所以∠BOE=∠BOM,

在△BCO中，∠BOE=∠DBC+∠BCE=60°=∠COD,

所以∠BOM=60°

所以∠COM=∠BOC-∠BOM=120-60=60，

所以∠COD=∠COM

在△COD和△COM中,

∠COD=∠COM

CO=CO

∠DCO=∠MCO

所以△COD≌△COM（ASA）

所以CD=CM

所以BC=CM+BM=CD+BE