Question

设函数f(x)=-x^2+4ax-3a^2,若0<a<1,x属于[1-a,1+a]时，恒有-a<=f(x)<=a成立，试确定a的取值范围

Answer 1

=-（x-2a）^2+a^2
0<a<1,0<1-a<1,1<1+a<2
a接近0 x属于[1,1]
a接近1 x属于[0,2]
1+a>2a
如果1-a<2a，则最大值在2a处等于a^2=a，得a=0或1，于0<a<1矛盾
所以2a<1-a<1+a,得0<a<1/3
f(1+a)=-a,f(1-a)=a
题目错误

Answer 2

f(x)=-x^2+4ax-3a^2
=-(x-a)(x-3a)
x≥1-a
f(x)=-(x-a)(x-3a)≥-a
8a²-7a+1≤0
解得(7-√17)/16)≤a≤(7+√17)/16
x≤1+a
f(x)=-(x-a)(x-3a)≤a

Answer 3

f(x)=-(x-2a)^2+a^2 对称轴x=2a
1+a-2a=1-a＞0 所以1+a在2a右侧
现在讨论1-a在2a哪侧
一、（1-a）-2a＞0时，即0＜a＜1/3
区间【1-a，1+a】在对称轴右侧
f(x)max=f(1-a)≤a 结果恒成立
f(x)min=f(1+a）≥-a结果 1/3≤a＜1
所以这情况无解
二、（1-a）-2a＜0即1/3≤a＜1
对称轴在【1-a，1+a】
f(x)max=f(2a)≤a 0＜a＜1
f(1-a）≥-a 7+√17)/16≤a≤(7+√17)/16

f(1+a）≥-a 1/3≤a＜1

由以上2种情况可得
因此a在 【[1/3，(7+√17)/16】